സ്കൂള്‍ കാലംമുതല്‍ നമ്മെ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടിച്ച വിഷയം കണക്ക്. അതില്‍ തന്നെ ഇതുവരെ മനസ്സിലാകാഞ്ഞ സംഗതി Sin θ, Cos θ, Tan θ. എന്താണ് ഈ θ? ഇതുകൊണ്ട് ഇന്നുവരെ ജീവിതത്തില്‍ ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഒരു ഗുണം ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടോ? ഇതിന്റെ പേരില്‍ എത്രയെത്ര പീഡനങ്ങളാണ് നമ്മള്‍ അനുഭവിച്ചത്?

“ഒരു വടക്കന്‍ സെല്‍ഫി” എന്ന സിനിമ കണ്ടവര്‍ക്ക്, എഞ്ചിനീയിംഗ് പരീക്ഷയുടെ തലേ ദിവസം നായകനും കൂട്ടുകാരും പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്ന രംഗം ഓര്‍മ്മയുണ്ടാകും. ഒരാള്‍ സംശയം ചോദിക്കുന്നു Sin2θ, Cos2θ ഒക്കെയാണ് സംഭാഷണ വിഷയം. അപ്പോള്‍ നായകന്‍ ചോദിക്കുന്ന ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്–

“എനിക്ക് കുഞ്ഞുന്നാള്‍ മുതലുള്ള സംശയമാണ്, എന്താണീ തീറ്റ? ഞാന്‍ ആരോടും ചോദിച്ചിട്ടില്ലന്നേയുള്ളൂ…”

അതേ, നമുക്കും സംശയമാണ് എന്താണീ തീറ്റ?

ഈ സാധനം എത്രത്തോളം പാവമാണെന്ന് സ്കൂളും കോളേജും ഒക്കെ കഴിഞ്ഞാണ് ഞാന്‍ മനസ്സിലാക്കിയത്. എന്റെ അനുഭവം നിങ്ങള്‍ക്കായി പങ്കുവയ്ക്കാം എന്ന് കരുതുന്നു.

സൈന്‍ θ എന്നൊക്കെ കേട്ട് ബാക്കി നിര്‍ത്തി പോകല്ലേ. അങ്ങനെ വലിയ ഘഠാഘടിയന്‍ കാര്യങ്ങളൊന്നും പറയാന്‍ പോകുന്നില്ലന്നേ!

ഓലപ്പുരയും കഴുക്കോലും ഉത്തരവും

എന്റെ കുട്ടിക്കാലത്ത് ഞങ്ങളുടേത് ഓലപ്പുരയായിരുന്നു. ഓരോ വര്‍ഷവും പുരമേയുന്ന പരിപാടിയുണ്ട്. പഴയ ഓലമാറ്റി പുതിയ ഓല മേയും. അപ്പോള്‍ അധികം വരുന്ന പഴയ ഓലയും കമ്പുകളും ഉപപയോഗിച്ച് കളിവീടുകള്‍ ഉണ്ടാക്കും. കളിവീടിന്റെ പ്രധാന ഭാഗം അതിന്റെ മേല്‍ക്കൂരയാണ്. അത് ത്രികോണ ആകൃതിയിലാണുള്ളത്. തൂണുകളും മുകളിലേക്ക് തള്ളിനില്‍ക്കുന്ന നടുത്തൂണും ഭൂമിക്ക് സമാന്തരമായ ഉത്തരവും അതില്‍ ചരിച്ചു വയ്ക്കുന്ന കഴുക്കോലുമാണ് ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങള്‍.

ഉത്തരത്തിന്റെ പകുതിയും അതിനു മുകളിലുള്ള നടുത്തൂണിന്റെ ഭാഗവും ആ ഭാഗത്തുള്ള കഴുക്കോലും ചേരുമ്പോള്‍ ഒരു മട്ടത്രികോണമാകും.

ഒരെളുപ്പത്തിന് നമുക്ക് ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ചുവട്, പൊക്കം, ചാര് (ചാരി വച്ചിരിക്കുന്നത്) എന്ന് പേരിട്ട് വിളിക്കാം. ഉത്തരത്തിന്റെ പകുതിയാണ് ചുവട്. ഉത്തരത്തിന് മുകളിലേയ്ക്ക് നില്‍ക്കുന്ന തൂണിന്റെ ഭാഗമാണ് പൊക്കം. ചരിച്ച് വച്ചിരിക്കുന്ന കഴുക്കോലാണ് ചാര്. ചുവടിനും ചാരിനും ഇടയിലുള്ള കോണളവാണ് ചരിവ്.

ചാരിനാണ് ഏറ്റവും നീളക്കൂടുതല്‍. ചുവടും പൊക്കവും ചേര്‍ന്ന് ഒരു മട്ടകോണ്‍ ഉണ്ടാകുന്നു. ചരിവ് എത്രവ്യത്യാസപ്പെട്ടാലും മട്ടകോണിന് മാറ്റം വരില്ല. മട്ടകോണിന് എതിരെയാണ് ചാര്. ചരിവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോണിന് എതിരെയാണ് പൊക്കം.

ചാരിന്റെ നീളം വ്യത്യാസപ്പെടുന്നില്ല എന്ന് കരുതുക. ചരിവ് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നതിന് അനുസരിച്ച് ചുവടും പൊക്കവും വ്യത്യാസപ്പെടും. ചരിവ് കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് പൊക്കം കൂടുകയും ചുവട് നീളം കുറഞ്ഞ് വരികയും ചെയ്യും.

മുകളിലെ ചിത്രം ശ്രദ്ധിച്ചാല്‍ നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്നവ ഇവയാണ്–

• ചരിവ് വളരെ കുറവാണെങ്കില്‍ പൊക്കവും വളരെ കുറവായിരിക്കും, അപ്പോള്‍ ചുവടിന്റെ നീളം ചാരിന്റെ നീളത്തിനോട് തുല്യമായിരിക്കും.
• ചരിവ് പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ പൊക്കം പൂജ്യം. ചാരും ചുവടും തുല്യം. കൂര ഉണ്ടാകില്ല.
• ചരിവ് കൂട്ടി കൂട്ടി കൊണ്ടുവന്നാല്‍ പൊക്കവും കൂടിക്കൂടി വരും. ചുവട് നീളം കുറഞ്ഞ് കുറഞ്ഞ് വരും.
• ചരിവ് പരമാവധി ആകുമ്പോള്‍ പൊക്കവും പരമാവധിയാകും. ചുവടിന് നീളം തീരെ ഇല്ലാതാകും.
• ചരിവിന്റെ പരമാവധി 90⁰ ആണല്ലോ. അപ്പോള്‍ ചാരും പൊക്കവും തുല്യമാകും, ചുവട് പൂജ്യമാകും. അപ്പോഴും കൂര ഉണ്ടാകില്ല.

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചലിതചിത്രീകരണം ശ്രദ്ധിച്ചാല്‍ ഇക്കാര്യങ്ങള്‍ എളുപ്പത്തില്‍ മനസ്സിലാകും.

 

ചരിവ് പകുതി (45⁰) ആയാലോ, പൊക്കവും ചുവടും തുല്യനീളമാകും. അപ്പോള്‍ ഇതൊരു കളിപോലെയാണ്. ചാരിന്റെ ചരിവ് വ്യത്യാസപ്പെടുത്തി പൊക്കവും ചുവടും ക്രമീകരിക്കാം.

വ്യത്യസ്ത ചരിവുകളില്‍ ചാരിന്റെ എത്രഭാഗം ആയിരിക്കും പൊക്കം എന്ന് നോക്കാം. ചരിവ് പൂജ്യം ആകുമ്പോള്‍ പൊക്കം പൂജ്യമാണെന്ന് പറഞ്ഞല്ലോ. ചരിവ് 30⁰ ആണെങ്കിലോ? പൊക്കം ചാരിന്റെ പകുതിയായിരിക്കും. കൂരയുടെ വലിപ്പം എന്ത് തന്നെയായാലും ചരിവ് 30⁰ ആണെങ്കില്‍ ചാരിന്റെ പകുതിയായിരിക്കും പൊക്കം .

ഈ അറിവ് വച്ച് പുര പണിയുമ്പോള്‍ പൊക്കത്തിന്റേയും കഴുക്കോലിന്റേയും അളവ് മുന്‍കൂട്ടി കാണക്കാക്കാം. 30⁰ ചരിവില്‍ മേല്‍ക്കൂര പണിയുകയാണെന്ന് കരുതുക. കഴുക്കോലിന്റെ നീളം 10 മീറ്റര്‍ ആണെങ്കില്‍ പൊക്കം 5 മീറ്റര്‍ ആയിരിക്കും. അതനുസരിച്ച് തടി മുന്‍കൂട്ടി മുറിച്ചെടുക്കാം.

ചരിവ് 15⁰ ആണെങ്കിലോ, പൊക്കം ചാരിന്റെ കാല്‍ഭാഗം (1/4) ആയിരിക്കും*. അതായത് കഴുകക്കോല്‍ 10 മീ. എങ്കില്‍ പൊക്കം 2.5 മീറ്റര്‍.

ഇപോലെ ചരിവ് 49⁰ ആയാല്‍ പൊക്കം ചാരിന്റെ മുക്കാല്‍ ഭാഗം ആയിരിക്കും*. അതായത് കഴുക്കോല്‍ 10 മീറ്റര്‍ എങ്കില്‍ പൊക്കം 7.5 മീറ്റര്‍.

ഇതിനെ ഒരു പട്ടികയാക്കിയാലോ.

ഇതിപ്പോ കുറച്ച് വെറുപ്പിക്കലായിപ്പോയി, ഇല്ലേ. സാരമില്ല, ഇനി കാര്യത്തിലേക്ക് വരാം.

എന്താണ് Sine?

ചാരിന്റെ എത്രഭാഗമാണോ പൊക്കം, അതിനെയാണ് Sine എന്ന് പറയുന്നത്.

• കഴുക്കോല്‍ 4 മീറ്ററും പൊക്കം 2 മീറ്ററും ആകുമ്പോള്‍ കഴുക്കോലിന്റെ പകുതിയാണ് പൊക്കം. അതായത് Sine = 1/2.
• കഴുക്കോല്‍ 3 മീറ്ററും പൊക്കം 1 മീറ്ററും ആയാല്‍ Sine 1/3.
• കഴുക്കോല്‍ 8 മീറ്ററും പൊക്കം 2 മീറ്ററും ആയാല്‍ Sine 2/8 അഥവാ 1/4.

പൊക്കത്തിനെ ചാരുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന വിലയാണ് Sine

(Sine എന്നത് ചുരുക്കി Sin എന്ന് പറയുന്നു.)

അപ്പോള്‍ എന്താണ് θ?

ചുവടുമായി ചാരിനുള്ള ചരിവാണ് θ. അഥവാ ചരിവളവിനെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നമാണ് θ.

എന്താണ് θ എന്ന് ചോദിച്ചാല്‍ ധൈര്യമായി പറയണം, കൂരയുടെ ചരിവാണതെന്ന്!

ചാരും ചരിവും അവിടെ നില്‍ക്കട്ടെ, സ്കൂളില്‍ ഇതൊന്നുമല്ലല്ലോ പഠിച്ചത്?

ശരി ഇനി നാം പഠിച്ചിട്ടുള്ള ത്രികോണമിതിയിലേക്ക് വരാം.

• നമ്മളുടെ ചാര് മട്ടകോണിന് എതിരെയുള്ള വശമാണ്, ഏറ്റവും വലിയ വശമാണ്. അതിനെ കര്‍ണ്ണം എന്ന് പറയുന്നു.
• ചരിവ് കണക്കാക്കുന്ന കോണിനെതിരെയാണ് പൊക്കം. അതിനാ‍ല്‍ പൊക്കത്തെ എതിര്‍ വശം എന്നോ, ലംബം എന്നോ പറയുന്നു.
• ചുവട് ഇതേ കോണിനോട് ചേര്‍ന്നാണ്. അതിനാല്‍ ചുവടിനെ സമീപവശം എന്ന് പറയുന്നു.

അപ്പോള്‍ Sin θ = എതിര്‍വശം/കര്‍ണ്ണം

ചരിവ് പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ എതിര്‍വശം പൂജ്യമാണെന്ന് കണ്ടല്ലോ. അതായത്-

ചരിവ് പൂജ്യം ആകുമ്പോള്‍ Sine = 0/കര്‍ണ്ണം = 0

കണക്കിന്റെ ഭാഷയില്‍ സിമ്പിളായി പറയും: Sin 0 = 0. ഇത്രേ ഉള്ളു കാര്യം.

അങ്ങനെയാണേല്‍ മുകളിലെ പട്ടികയെ താഴെ പറയുന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാമല്ലോ-

• Sin 0 = 0
• Sin 15 = 1/4* അഥവാ 0.25 (കുറച്ചുകൂടി കൃത്യമായ വില 0.2588 ആണ്)
• Sin 30 = 1/2 അല്ലങ്കില്‍ 0.50
• Sin 49 = 3/4* അഥവാ 0.75 (കുറച്ചുകൂടി കൃത്യമായ വില 0.7547)
• Sin 90 = 1

അപ്പോള്‍ പട്ടിക 1 ഇങ്ങനെ ലളിതമായി എഴുതാം.

ഈ സൈനും കോസും കൊണ്ട് വല്ല പ്രയോജനവും ഉണ്ടോ?

കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ അളവറിയാമെങ്കില്‍ വ്യത്യസ്ത കോണളവില്‍ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ എതിര്‍ വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇത് സഹായിക്കുമല്ലോ. അഥവാ എതിര്‍ വശത്തിന്റെ നീളം അറിയാമെങ്കില്‍ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കാം.മുമ്പ് പഠിച്ച ഒരു ചോദ്യം ഓര്‍മ്മ വരുന്നു-

6 മീറ്റര്‍ പൊക്കമുള്ള ഒരു ഏണി ഒരു ഭിത്തിയില്‍ ചാരി വച്ചിരിക്കുന്നു. ഏണി തറയുമായി 30⁰ കോണുണ്ടാക്കുന്നെങ്കില്‍ ഭിത്തിയുടെ ഉയരം എത്ര?

മുമ്പായിരുന്നെങ്കില്‍ ആ മാര്‍ക്ക് വേണ്ടന്നങ്ങ് തീരുമാനിച്ചേനെ. പക്ഷേ നമ്മള്‍ ഇത്രയും മഹാഭാരതമൊക്കെ വായിച്ചിട്ട് അങ്ങനെയങ്ങ് വിട്ടുകളയാന്‍ പാടില്ലല്ലോ. ഭിത്തി തറയില്‍ നിന്നും ലംബമായാണ് നില്‍ക്കുന്നത്. (ഭിത്ത് ശശി മേശിരി പണിതതല്ലന്ന് കരുതാം.) ഭിത്തി, തറ, ഏണി ഇവ ചേര്‍ന്ന് ഒരു മട്ടത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഏണിയും തറയും തമ്മിലുള്ള കോണിന് എതിരെയാണ് ഭിത്തി. കോണ് 30 ആയാല്‍ ഭിത്തിയുടെ പൊക്കം ചാരിവച്ചിരിക്കുന്ന ഏണിയുടെ പകുതി ആയിരിക്കും. ഏണി 6 മീറ്റര്‍. അതുകൊണ്ട് ഭിത്തി 3 മീറ്റര്‍. സംഭവം സിമ്പിളല്ലേ? ചാരിവച്ച ഏണിയുടെ അളവെടുക്കാന്‍ മാത്രമല്ല, ബ്രഹ്മാണ്ഡത്തിലെ ഘഠാഘടിയന്‍ അളവുകള്‍ വരെ നിസ്സാരമായി കണക്കാക്കാന്‍ ഈ സൂത്രം ഉപയോഗിക്കാം. എതിര്‍ വശത്തിന്റെ അളവറിയാന്‍ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ അളവിനെ സൈന്‍ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ മതി. ഉദാഹരണ്തിന് ഏണിയുടെ നീളം 8 മീറ്ററും അത് തറയുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണ്‍ 49 യുമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഭിത്തിയുടെ ഉയരം കാണാന്‍ ഏണിയുടെ നീളമായ 8 മീറ്ററിനെ Sin 49 ന്റെ വിലയായ 0.75 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ മതി.

              8 X 0.75 = 6.

അതായത് ഭിത്തിയുടെ പൊക്കം 6 മീറ്റര്‍.

ഇങ്ങനെ 0⁰ മുതല്‍ 90⁰ വരെയുള്ള കോണളവുകളുടെ സൈന്‍ മൂല്യം കണക്കന്‍മാര്‍ കണ്ടെത്തി പട്ടികപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ആ പട്ടിക നോക്കി ഏതിര്‍വശവും കര്‍ണ്ണവും കണ്ടെത്താമല്ലോ.

എന്താണ് Cos θ?

ചരിവ് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നതിന് അനുസരിച്ച് ചുവടിന്റെ നീളവും വ്യത്യാസപ്പെടുമല്ലോ. ചാരിന്റെ(കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ) എത്രഭാഗമാണ് ചുവട്(സമീപവശം) എന്നതിനെയാണ് Cosine എന്ന് പറയുന്നത്. (ചുരുക്കം Cos)

നേരത്തെ കണ്ടതുപോലെ ചരിവ് പൂജ്യം ആകുമ്പോള്‍ ചാരും ചുവടും തുല്യമായിരിക്കും. ചരിവ് 90⁰ ആകുമ്പോള്‍ ചുവട് പൂജ്യമായിരിക്കും. അതായത് –

• Cos 0 = 1.
• Cos 90 = 0.

വിവധ ചരിവളവുകളില്‍ Cos ന്റെ വില താഴെ പട്ടികയില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

മനസ്സിലായി മനസ്സിലായി …. നിര്‍ത്തണമെന്നല്ലേ, ഒരു കാര്യം മാത്രം പറഞ്ഞ് നിര്‍ത്താം.

പൊക്കത്തിന്റെ എത്രഭാഗമാണ് ചുവട് എന്നതിന്റെ അളവാണ് ടാന്‍ജന്റ് അഥവാ Tan.

അപ്പോ സൈന്‍ തീറ്റയും കോസ് തീറ്റയും ടാന്‍ തീറ്റയോട് പറഞ്ഞതെന്താ?

ആ … ആര്‍ക്കറിയാം, അതൊക്കെ ഒരു പഞ്ച്കിട്ടാനായി വെറുതെ തലക്കെട്ട് കൊടുത്തതല്ലേ!

അപ്പോ നിവിന്‍ പോളീടെ ഫോട്ടോയിട്ടതോ?

അയാം ദ സോറി അളിയാ അയാം ദ സോറി …

---

*  മൂല്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാകാനായി ഏറ്റവും അടുത്ത ഭിന്നസംഖ്യകളായി എഴുതിയിരിക്കുകയാണ്. യഥാര്‍ത്ഥ മൂല്യം അല്പം കൂടി വ്യത്യാസപ്പെടും.

---

”എനിക്ക് കുഞ്ഞുന്നാള്‍ മുതലുള്ള സംശയമാണ്, എന്താണീ തീറ്റ” ?

2018 ഒക്ടോര്‍ 13 ലെ മാതൃഭൂമി വിദ്യയിലും ഇ-പേപ്പറിലും ഈ ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു