Tag Archives: Degree

കോണളവുകൾ

ജ്യാമിതിയിലെ തന്നെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപങ്ങളിൽ ഒന്നോണല്ലോ കോണുകൾ. കോണിനെ അളക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം.

ഒരു പൊതുബിന്ദുവിൽ നിന്നും ആരംഭിക്കുന്ന രണ്ടു നേർരേഖകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ് കോൺ. ഈ പൊതുബിന്ദുവിനെ ശീർഷം എന്നും രേഖകളെ ഭുജങ്ങൾ വിളിക്കുന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന രണ്ടു നേർവരകൾ തമ്മിലുള്ള ചരിവാണ് കോൺ എന്നും പറയാറുണ്ട്. കോണിന്റെ വലിപ്പത്തെയും കോൺ എന്നു തന്നെയാണ് പറയുന്നത്. ഡിഗ്രി, റേഡിയൻ എന്നീ യുണിറ്റുകളിലാണ് കോൺ അളക്കാറുള്ളത്.

കോണിന്റെ ചരിവ്

രണ്ടു നേർവരകൾക്ക് പൊതുവായ ഒരഗ്രം (ശീർഷം) ഉണ്ടെങ്കിൽ അങ്ങനെയുണ്ടാകുന്ന ജ്യാമിതീയ രൂപം ഒരു കോൺ അണെന്നു പറഞ്ഞല്ലോ. രണ്ടു നേര്‍വരകളും ഒന്നിനോടൊന്നു ചേര്‍ന്നിരുന്നാൽ കോൺ രൂപപ്പെടുന്നില്ല, അഥവാ കോണിന്റെ അളവ് പൂജ്യമാണെന്നു കരുതാം. ഇരു വരകളിലെയും (ശീർഷമൊഴികെയുള്ള) ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിൽ അകലാൻ തുടങ്ങുന്നതോടെ, വരകൾ തമ്മിൽ ഒരു ചരിവ് രൂപപ്പെടുന്നു അഥവാ കോണ് രൂപപ്പെടുന്നു. ചരിവ് കൂടുന്തോറും കോണും വലുതായി വരുന്നു.

ഒരു കോണിന്റെ ഭുജങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ചരിവിനെയും കോണളവായി കണക്കാക്കാറുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രത്തിൽ OA, OB എന്നീ രണ്ടു വരകൾ O എന്ന ബിന്ദുവിൽ ചേര്‍ന്നിരിക്കുന്നു. OA യിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും OB-യിലേക്കുള്ള ലംബദൂരം കണക്കാക്കാൻ സാധിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് OA-യിലെ P എന്ന ബിന്ദൂവിൽ നിന്നും OB യിലേക്കുള്ള ലംബദൂരമാണ് PQ. ലംബദൂരത്തെ ഉയരം എന്നും വിളിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് ഇവിടെ O എന്ന ശീര്‍ഷത്തിൽ നിന്നും P യിലേക്കുള്ള ദൂരം OP-യും ആ ദൂരത്തിൽ നിന്നും OB-യിലേക്കുള്ള ഉയരം PQ-ഉം ആണ്.

ചിത്രം നിരീക്ഷിച്ചാൽ ചരിവ് കൂടുന്തോറും ഉയരം കൂടി വരുന്നതായി കാണാം.

ഒരേ കോണിന്റെ തന്നെ വ്യത്യസ്തദൂരങ്ങളിലേക്കുള്ള ഉയരങ്ങള്‍ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ AP എന്ന ദൂരം 4 യൂണിറ്റും PX എന്ന ഉയരം 2യൂണിറ്റുമാണ്. AQ എന്ന ദൂരം 8യുണിറ്റും QY എന്ന ഉയരം 4യൂണിറ്റുമാണ്. അതുപോലെ AR എന്ന ദുരം 10 യൂണിറ്റും RZ എന്ന ഉയരം 5യുണിറ്റുമാണ്. ദൂരത്തിനനുസരിച്ച് ഉയരം വ്യത്യാസപ്പെടുമെങ്കിലും ഉയരത്തെ അകലം കൊണ്ടു ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രത്തിൽ,

AP ÷ PX = 2÷4 = ½

AQ ÷ QY = 4÷8 = ½

AR ÷ RZ = 5÷10 = ½

എന്നിങ്ങനെ കിട്ടുന്നു.

ഒരു കോണിന്റെ ഒരു ഭുജത്തിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും മറ്റേ ഭുജത്തിലേക്കുള്ള ഉയരവും ശീർഷത്തിൽ നിന്നും ആ ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരവും തമ്മിൽ ഹരിച്ചുകിട്ടുന്നത് ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഈ സ്ഥിരസംഖ്യയാണ് കോണിന്റെ ചരിവ്. അതായത് ഇവിടെ തന്നിട്ടുള്ള ചിത്രത്തിലെ കോണിന്റെ ചരിവ് ½ ആണ്.

ചരിവിനെ ശതമാനമായും പറയാറുണ്ട്. ½ എന്നതിനെ 50% എന്നും പറയാമല്ലോ. റോഡിന്റെയും മറ്റും ചരിവ് ശതമാനമായാണ് കാണിക്കാറുള്ളത്. റോഡിന്റെ ചരിവ് 25% എന്നൊരു ബോർഡുകണ്ടാൽ അതിനർത്ഥം ഓരോ 100മിറ്റര്‍ മുന്നോട്ടുപോകുമ്പോഴും ഉയരം 25മീറ്റർ വർദ്ധിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഡിഗ്രി അളവ്

കോണിന്റെ ശീർഷത്തെ കേന്ദ്രമാക്കി അതിന്റെ ഒരു ഭൂജം ചുറ്റിത്തിരിയുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ, ഭുജം തിരിയുംതോറും അതിലെ ബിന്ദുക്കൾ വൃത്താകൃതിയിൽ സഞ്ചരിക്കാൻ തുടങ്ങുമല്ലോ. ഒരു ബിന്ദു ഒരു വൃത്തം പൂര്‍ത്തിയാക്കുമ്പോൾ ഭുജം വീണ്ടും പഴയസ്ഥാനത്ത് എത്തിയിരിക്കും. ക്ലോക്കിലെ ഒരു സൂചി ഒരു സ്ഥാനത്തുനിന്നും കറങ്ങാനാരംഭിച്ച് വീണ്ടും അതേ സ്ഥാനത്ത് എത്തിച്ചേരുന്നതുമായി ഇതിനെ താരതമ്യപ്പെടുത്താം.

സൂചിയുടെ തിരിവിനെ, ആകെവൃത്തത്തിന്റെ എത്രഭാഗം അത് തിരിഞ്ഞു എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി അളക്കാൻ സാധിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് സൂചി നേരെ എതിർഭാഗത്തെത്തുമ്പോൾ ആകെ വൃത്തത്തിന്റെ പകുതി (½) ഭാഗം പൂര്‍ത്തിയാക്കിയിരിക്കും. സൂചി അതിന്റെ ആദ്യസ്ഥാനത്തിന് ലംബമായി എത്തുമ്പോഴാകട്ടെ, ആകെ വൃത്തത്തിന്റെ കാൽഭാഗം (¼) ആയിരിക്കും പൂർത്തിയാക്കിയിരിക്കുക. ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തം പൂര്‍ത്തിയാക്കുമ്പോൾ 360 ഡിഗ്രി തിരിഞ്ഞതായാണ് പുരാതന ഗണിതജ്ഞർ കണക്കാക്കിയിരുന്നത്. ഡിഗ്രി എന്ന യൂണിറ്റിനെ ‘°’ എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അപ്പോൾ പകുതി വൃത്തം പൂർത്തിയാക്കാൻ 180° തിരിയണം. കാൽ വൃത്തം പൂർത്തിയാക്കാൻ 90° തിരിയണം. ഈ തിരിവിനെ കോണിന്റെ അളവായും കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പകുതിയും വൃത്തകേന്ദ്രവും ഉൾപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ അളവ് ½ X 360° = 180°ആയിരിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കാൽഭാഗവും വൃത്തകേന്ദ്രവും ഉൾപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ അളവ് ¼ X 360° = 90°ആയിരിക്കും. ഇപ്രകാരം ഒരു വൃത്തത്തെ 6 തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കിയാൽ അതിലൊരു ഭാഗം വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോൺ ⅙ X 360° = 60° ആയിരിക്കുമല്ലോ.

വൃത്തത്തിന്റെ അളവ് 360° ആയ കഥ

സാധാരണ അളവുകൾ 10, 100, 1000 എന്നിങ്ങനെ 10ന്റെ കൃതികളായാണ് പറയാറുള്ളത്. ഉദാഹരണത്തിന് 1000 മീറ്ററാണല്ലോ ഒരു കിലോ മീറ്റർ. എന്നാൽ വൃത്തത്തിന്റെ അളവ് 360 ഡിഗ്രിയായാണ് കണക്കാക്കിയിരിക്കുന്നത്. ഇതിനെ സംബന്ധിച്ച് രണ്ടുതരത്തിലുള്ള വാദങ്ങളാണുള്ളത്.

ഭൂമി സൂര്യനെ ചുറ്റിക്കറങ്ങുമ്പോൾ, ഭൂമിയിൽ നിന്നു നിരീക്ഷിക്കുന്ന നമുക്ക് സൂര്യൻ ആകാശത്തിലെ നക്ഷത്രങ്ങൾക്കിടയിലൂടെ വൃത്താകൃതിയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നതായാണ് തോന്നുന്നത്.

അതായത് സൂര്യൻ, അതിന്റെ സമീപസ്ഥ നക്ഷത്രങ്ങളിൽനിന്നും പ്രതിദിനം അകന്നു പോകുന്നതായി തോന്നുന്നു. അങ്ങനെ ഒരു നക്ഷത്രത്തിൽ നിന്നും അകന്നു പോകുന്ന സൂര്യൻ, ആകാശഗോളത്തിലൂടെ വൃത്താകൃതിയിൽ സഞ്ചരിച്ച്, വീണ്ടും അതെ നക്ഷത്രത്തോടൊപ്പം എത്താൻ ഒരു വര്‍ഷമെടുക്കും. ഇതിനെ ഏകദേശം 360 ദിവസങ്ങളായാണ് പുരാതന മനുഷ്യൻ കണക്കാക്കിയത്. അപ്പോൾ സൂര്യൻ ഓരോ ദിവസവും ആകെ വൃത്തത്തിന്റെ 360ൽ ഒരു ഭാഗം വീതം പൂര്‍ത്തിയാക്കുമല്ലോ. അതിനെ ഒരു ഡിഗ്രിയായും ആകെ വൃത്തത്തെ 360° ആയും കണക്കാക്കി എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ വാദം. വർഷത്തിന്റെ അളവ് 365¼ ദിവസം എന്നു കണ്ടെത്തിയെങ്കിലും വൃത്തത്തിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് 360 ആയി തുടര്‍ന്നു.

സമഭുജതൃകോണത്തിന്റെ കോണളവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് രണ്ടാമത്തെ വാദം. ഒരേ വലിപ്പമുള്ള മൂന്നു കമ്പുകൾ ചേര്‍ത്ത് ഒരു ത്രികോണമുണ്ടാക്കിയാൽ ആ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളെല്ലാം, ലോകത്തെവിടെയും തുല്യമായിരിക്കുമല്ലോ. ഏതൊരാൾക്കും അളവുപകരണങ്ങളുടെ സഹായമൊന്നുമില്ലാതെ ഒരേ അളവിൽ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുന്ന കോണാണ് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു കോണ്. അതിനാൽ അതിനെ കോണുകള ുടെ സാർവ്വത്രിക ഏകകമായി എടുക്കാവുന്നതാണ്. ഇങ്ങനെയുണ്ടാകുന്ന കോൺ പക്ഷേ സാമാന്യം വലിയ ഒന്നാണ്. അതിനാൽ അന്നത്തെ സമ്പ്രദായം അനുസരിച്ച് ഈ കോണിനെ 60 തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചു. 60 അടിസ്ഥാനമായ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം അന്ന് ഏറെ പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്നല്ലോ. മണിക്കൂറിനെയും മിനിറ്റിനെയുമൊക്കെ 60 ഭാഗങ്ങളായാണല്ലോ വിഭജിച്ചിട്ടുള്ളത്. 2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 എന്നീ സംഖ്യകൾകൊണ്ടെല്ലാം ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ് 60 എന്നതാണ് അതിന്റെ പ്രത്യേകത. അങ്ങനെ സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ 1/60 ഭാഗം കോണിന്റെ യൂണിറ്റ് അളവായി മാറി.

ഒരു വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ 6 സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്താനാകും. അങ്ങനെ വൃത്തത്തിന്റെ ആകെ അളവ് 360° ആയി എന്നതാണ് രണ്ടാമത്തെ വാദം. ഈ വാദത്തിനാണ് കൂടുതൽ സ്വീകാര്യത കിട്ടിടിട്ടുള്ളത്.

റേഡിയന്‍

കോണിനെ മറ്റൊരു രീതിയിലും അളക്കാം. കോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തഭാഗം അതിന്റെ ആരത്തിന്റെ എത്രമടങ്ങാണ് എന്നു കണക്കാക്കുകയാണ് ഈ രീതി. വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്തെ ചാപം എന്നാണല്ലോ വിളിക്കുന്നത്. ചാപത്തിന്റെ നീളം s, അതിന്റെ ആരം r എന്നിവ ആണങ്കിൽ, ആ ചാപം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കോണിന്റെ അളവ് s/r ആയിരിക്കും. ഈ അളവിന്റെ യൂണിറ്റ് റേഡിയൻ ആണ്. x റേഡിയൻ എന്ന അളവ് x rad എന്നെഴുതും.

ഒരു പൂർണ്ണവൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 2πr ആണെന്ന് അറിയാമല്ലോ. അപ്പോൾ ഒരു പൂർണ്ണവൃത്തത്തിന്റ റേഡിയൻ അളവ് 2πr ÷ r = 2π റേഡിയൻ ആണ്. അതുപോലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ കോണളവ് π റേഡിയനും കാൽ വൃത്തത്തിന്റെ റേഡിയൻ അളവ് π/2 റേഡിയനും ആയിരിക്കും.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ അതിന്റെ വ്യാസംകൊണ്ടു ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാണ് π (പൈ). ഇതിന്റെ ഏകദേശ വില 3.14 ആണ്.

ഒരു കോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവിനെ 180/π കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ അതേ കോണിന്റെ ഡിഗി അളവ് കിട്ടും.

ഉദാ: ¼π rad = ¼π X 180/π = 45°

1 rad = 180/π = 180/3.14 = 57.3°.

അന്താരാഷ്ട്രതലത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന SI യൂണിറ്റ് വ്യവസ്ഥയിൽ കോണിന്റെ യുണിറ്റായി റേഡിയനെ ആണ് അംഗീകരിച്ചിട്ടുള്ളത്. എന്നിരുന്നാലും റേഡിയൻ താരതമ്യേന വലിയ ഒരു അളവായതിനാൽ സാധാരണ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഡിഗി അളവുകളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.


2021 ജൂൺ 29 ലെ മാതൃഭൂമി പത്രത്തിലെ വിദ്യ യിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്.